ルール違反でもコピーだけ持っていく方が安全と思います。

パスポート不携帯は厳密にいうとルール違反ということになってまずいのかもしれませんが、やはり自分も温泉に行った時はコピーを持参して、パスポート自体はホテルの部屋のセーフティボックスに入れておきました。

温泉は地元の人も含めたかなりの不特定多数が利用する施設ですし、ハンガリーの言葉しか通じないスタッフがほとんどなので、何かあった時の対応には不安が大きいです。ロッカーの鍵とかも安全性はちょっと頼りない感じです。

ホテルに置いておくのも100%安全ではありませんが、もしもの場合でもホテルのスタッフにはまず英語通じるでしょうし。パスポート不携帯を見つかった時にはパスポートのコピーとホテルの名称とか所在地・連絡先を書いたメモでも見せて「ここにある」とおだやかに主張すれば何とかなりそうに思います。

万が一ですが、パスポートを紛失した時のためにパスポートのコピーと、パスポート適応サイズの顔写真を旅行荷物に入れておくと再発行がスムーズですのでご参考まで。