FRA空港での乗継について

普通に入国できます

　ドイツ、ハンガリーはともにシェンゲン協定加盟国ですので、日本からフランクフルト乗り継ぎでブダペストへ行かれる場合はフランクフルトで入国審査を受けますが、その後到着ロビーへ出て乗り継ぎ時間中に観光をしたり買い物をしたりするのは普通にできます。
　「乗り継ぎ」の案内表示ではなく「入国」の案内表示に従って進めばＯＫです。
　観光やお買い物を終えた後は、日本の空港でのチェックイン時にフランクフルト/ブダペストの搭乗券も出ていれば出発ロビーからそのままセキュリティチェックを受けて中へ入ります。その時点でも持っている荷物が機内持ち込み可能サイズ＆個数なら問題ないでしょう。

　復路の免税手続きですが、ドイツ、ハンガリー、フィンランドはともにEU加盟国ですので最後にEU圏を出るフィンランド（ヘルシンキ空港）で行うことになります。
　預け入れ荷物が日本まで通しで、この中にどうしても免税対象品を入れたい場合は出発空港（ブダペスト空港？）で行うことも可能です。
　ブダペスト空港の出発ロビーにある免税手続カウンターの位置は空港サイトのターミナルマップに記載されていたと思います。

　　　　http://www.bud.hu/

入国済みなので

トイレに行こうが、市内に行こうが、
非制限エリアで何をしようが勝手です。

免税はHELで間違いありません。

気をつけるというか、面倒なのは、
HELで乗り込むまで、購入物は使えないということ。

それまでは鞄ではなく、重石でしかないものを
運ぶくらいです。まあ、もともとが実用品ではなく、
多分に趣味の世界のものなので、そこに生きる人は
そのくらいの苦労はいとわないでしょうが、、、、。